「同じだ」とはどういうことか。国語辞典がどう説明しているかを見てみます。
まずは岩波の第八版から。（例などは適宜省略します）
同じ １〔連体・ノダ〕これとそれとの間に区別ができない（区別するまでもない）。「－日の夜」「姉と弟の身長が－になった」「私見も君と－」 岩波
岩波は「これとそれ」が好きですね。（→「2016-03-16 あいだ」「2020-01-20 岩波八版：会話・あいだ・蹴る・営業」）
しかし、「同じ日の夜」の例で「これとそれ」は何を指すかと言うと、ちょっと難しいです。（「ある日の朝、または昼」と「その日の夜」、の「ある日」と「その日」が「これとそれ」、つまり「同じ日」ということでしょうか。こう考えるとかえってわかりにくいですね。）
さて、「同じ」とは「区別ができない」ことです。では、「区別」とは。
区別 それとこれとの間に認める違い。また、それをこれと違うもの（種類）として扱うこと。
おや、ここでは「それとこれ」ですね。まあ、それは気にしないことにして、「区別」とは「違い」「違うものとして扱うこと」です。それができない場合が「同じ」です。
では、「違い」「違う」とは。
違い １違うこと。違っている度合い。相違。差。
違う １他のもの、または正常の状態と異なる。
「違い」とは「違うこと」で、「違う」とは「異なる」です。
異なる あるものが他のものと同じでない。ちがう。 以上 岩波第八版
おやおや。「異なる」とは「同じでない」ことです。振り出しに戻ってしまいました。
これまでの説明をまとめると、
同じ これとそれ（あるものと他のもの）とが同じでないものとして扱うことができない。
となります。これでは説明になっていません。
明鏡だともっと簡単です。
同じ 〔形動〕そのものと少しも違いがないさま。同一。
違い 比べる（二つの）ものの間に認められる差異。相違。隔たり。
差異 二つ以上のものを比べたときの、違いやへだたり。 明鏡 第二版
「同じ」は「違いがない」。「違い」は「差異」。「差異」は「違い」です。
「相違」「隔たり」を見ても変わりません。
相違 二つの物・事柄の間にちがいがあること。
隔たり へだたること。また、その度合い。
隔たる ２物事の間に差がある。懸け離れている。差異がある。
差 へだたり。違い。 明鏡 第二版
袋小路に入ってしまい、出られません。
さて、どう説明すればいいのか。
新明解を見てみましょう。
同じ 二つ（以上）のものについて、比較しようとする問題の点に関して少しの違いも認められず、別のものだととらえる必要(理由）が無いと判断される様子だ。
違い 違うこと。
違う その物には無い属性や特徴を、それと比較される他の物が持っていると認められる。
「同じ」を「違いが認められない」とすることは、岩波や明鏡と似ていますが、「違い・違う」を「同じ」を使わずに説明しています。
二つのものがあって、一つのものが「他のものにない属性や特徴」を持っている時、「違いがある」と言う、という説明です。なるほど。
「違いがある」ということは、他のものにない何かがある、ということですね。そういう点がなければ、「同じ」だと言える。
言われてみれば当たり前のような気がするのですが、これだけのことをきちんと書くのが案外難しい。
三国も見てみましょう。
同じ １形・性質・種類などが、ぴったりあうようす。 三国
「違いがない」の代わりに「ぴったりあう」と説明しています。なんとなくいいような気もしますが、では、「あう」とはどういうことか。
合う ２〔二つ（以上）のものが〕同じ形や状態に<そろう／そろって、すきまがなくなる>。
うーん。やはり「同じ」が出てきてしまいました。残念。
「同じ・違う」に関しては、新明解の説明のしかたがよいと思います。
